Leysa {l}{3x-3y=2}{4x+7y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 3 y = 2 } \\ { 4 x + 7 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{5}{33}\approx 0.151515152$$

$$y=-\frac{17}{33}\approx -0.515151515$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-3y=2$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=3y+2$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(3y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 3y+2.

$$x=y+\frac{2}{3}$$

Settu y+\frac{2}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+7y=-3.

$$4\left(y+\frac{2}{3}\right)+7y=-3$$

Margfaldaðu 4 sinnum y+\frac{2}{3}.

$$4y+\frac{8}{3}+7y=-3$$

Leggðu 4y saman við 7y.

$$11y+\frac{8}{3}=-3$$

Dragðu \frac{8}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$11y=-\frac{17}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$y=-\frac{17}{33}$$

Skiptu -\frac{17}{33} út fyrir y í x=y+\frac{2}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{17}{33}+\frac{2}{3}$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við -\frac{17}{33} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{5}{33}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}&\frac{1}{11}\\-\frac{4}{33}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\\-\frac{4}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{33}\\-\frac{17}{33}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

Til að gera 3x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\times 2,3\times 4x+3\times 7y=3\left(-3\right)$$

Einfaldaðu.

$$12x-12y=8,12x+21y=-9$$

Dragðu 12x+21y=-9 frá 12x-12y=8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x-12y-21y=8+9$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-12y-21y=8+9$$

Leggðu -12y saman við -21y.

$$-33y=8+9$$

Leggðu 8 saman við 9.

$$-33y=17$$

Deildu báðum hliðum með -33.

$$y=-\frac{17}{33}$$

Skiptu -\frac{17}{33} út fyrir y í 4x+7y=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+7\left(-\frac{17}{33}\right)=-3$$

Margfaldaðu 7 sinnum -\frac{17}{33}.

$$4x-\frac{119}{33}=-3$$

Leggðu \frac{119}{33} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=\frac{20}{33}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{5}{33}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$