Leysa {l}{3x-2y=6}{x/3-y/6=1/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 6 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 6 } = \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 3,6,2.

$$2x-y=3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-2y=6$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=2y+6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 6+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

Settu \frac{2y}{3}+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-y=3.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)-y=3$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{2y}{3}+2.

$$\frac{4}{3}y+4-y=3$$

Leggðu \frac{4y}{3} saman við -y.

$$\frac{1}{3}y+4=3$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{3}y=-1$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x=\frac{2}{3}y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{3}\left(-3\right)+2$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum -3.

$$x=-2+2$$

Leggðu 2 saman við -2.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=-3$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 3,6,2.

$$2x-y=3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6+2\times 3\\-2\times 6+3\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=-3$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 3,6,2.

$$2x-y=3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 6,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 3$$

Einfaldaðu.

$$6x-4y=12,6x-3y=9$$

Dragðu 6x-3y=9 frá 6x-4y=12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-4y+3y=12-9$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y+3y=12-9$$

Leggðu -4y saman við 3y.

$$-y=12-9$$

Leggðu 12 saman við -9.

$$-y=3$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í 2x-y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-\left(-3\right)=3$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=0$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=-3$$