Leysa {l}{3x-2y=5}{2x-3y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { 2 x - 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-3$$

$$y=-7$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-2y=5,2x-3y=15$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-2y=5$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=2y+5$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 2y+5.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Settu \frac{2y+5}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-3y=15.

$$2\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)-3y=15$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{2y+5}{3}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}-3y=15$$

Leggðu \frac{4y}{3} saman við -3y.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}=15$$

Dragðu \frac{10}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{5}{3}y=\frac{35}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-7$$

Skiptu -7 út fyrir y í x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{3}\left(-7\right)+\frac{5}{3}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum -7.

$$x=\frac{-14+5}{3}$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við -\frac{14}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=-7$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-2y=5,2x-3y=15$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 15\\\frac{2}{5}\times 5-\frac{3}{5}\times 15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-3,y=-7$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-2y=5,2x-3y=15$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 5,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 15$$

Einfaldaðu.

$$6x-4y=10,6x-9y=45$$

Dragðu 6x-9y=45 frá 6x-4y=10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-4y+9y=10-45$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y+9y=10-45$$

Leggðu -4y saman við 9y.

$$5y=10-45$$

Leggðu 10 saman við -45.

$$5y=-35$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=-7$$

Skiptu -7 út fyrir y í 2x-3y=15. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-3\left(-7\right)=15$$

Margfaldaðu -3 sinnum -7.

$$2x+21=15$$

Dragðu 21 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=-7$$