Leysa {l}{3x-2y=5}{-5-x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 5 - x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y = \frac{47}{4} = 11\frac{3}{4} = 11.75$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-2y=5$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=2y+5$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 2y+5.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Settu \frac{2y+5}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+2y-5=9.

$$-\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y-5=9$$

Margfaldaðu -1 sinnum \frac{2y+5}{3}.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}+2y-5=9$$

Leggðu -\frac{2y}{3} saman við 2y.

$$\frac{4}{3}y-\frac{5}{3}-5=9$$

Leggðu -\frac{5}{3} saman við -5.

$$\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}=9$$

Leggðu \frac{20}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{4}{3}y=\frac{47}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{4}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{47}{4}$$

Skiptu \frac{47}{4} út fyrir y í x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{47}{4}+\frac{5}{3}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum \frac{47}{4} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{47}{6}+\frac{5}{3}$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við \frac{47}{6} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{19}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\\frac{47}{4}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Til að gera 3x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$-3x-\left(-2y\right)=-5,3\left(-1\right)x+3\times 2y+3\left(-5\right)=3\times 9$$

Einfaldaðu.

$$-3x+2y=-5,-3x+6y-15=27$$

Dragðu -3x+6y-15=27 frá -3x+2y=-5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3x+3x+2y-6y+15=-5-27$$

Leggðu -3x saman við 3x. Liðirnir -3x og 3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y-6y+15=-5-27$$

Leggðu 2y saman við -6y.

$$-4y+15=-5-27$$

Leggðu -5 saman við -27.

$$-4y+15=-32$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4y=-47$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=\frac{47}{4}$$

Skiptu \frac{47}{4} út fyrir y í -x+2y-5=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+2\times \frac{47}{4}-5=9$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{47}{4}.

$$-x+\frac{47}{2}-5=9$$

Leggðu \frac{47}{2} saman við -5.

$$-x+\frac{37}{2}=9$$

Dragðu \frac{37}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-\frac{19}{2}$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=\frac{19}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$