Leysa {l}{3x-2y=20}{5x+8y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 20 } \\ { 5 x + 8 y = 22 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-2y=20,5x+8y=22$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-2y=20$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=2y+20$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+20\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 20+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}$$

Settu \frac{20+2y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+8y=22.

$$5\left(\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}\right)+8y=22$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{20+2y}{3}.

$$\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}+8y=22$$

Leggðu \frac{10y}{3} saman við 8y.

$$\frac{34}{3}y+\frac{100}{3}=22$$

Dragðu \frac{100}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{34}{3}y=-\frac{34}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{34}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{20}{3}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum -1.

$$x=\frac{-2+20}{3}$$

Leggðu \frac{20}{3} saman við -\frac{2}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-2y=20,5x+8y=22$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\\-\frac{5}{34}&\frac{3}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 20+\frac{1}{17}\times 22\\-\frac{5}{34}\times 20+\frac{3}{34}\times 22\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-2y=20,5x+8y=22$$

Til að gera 3x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 20,3\times 5x+3\times 8y=3\times 22$$

Einfaldaðu.

$$15x-10y=100,15x+24y=66$$

Dragðu 15x+24y=66 frá 15x-10y=100 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x-10y-24y=100-66$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-10y-24y=100-66$$

Leggðu -10y saman við -24y.

$$-34y=100-66$$

Leggðu 100 saman við -66.

$$-34y=34$$

Deildu báðum hliðum með -34.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í 5x+8y=22. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+8\left(-1\right)=22$$

Margfaldaðu 8 sinnum -1.

$$5x-8=22$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=30$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-1$$