Leysa {l}{3x-2y=0}{4x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 0 } \\ { 4 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{10}{11}\approx 0.909090909$$

$$y = \frac{15}{11} = 1\frac{4}{11} \approx 1.363636364$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-2y=0,4x+y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-2y=0$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=2y$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\times 2y$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 2y.

$$x=\frac{2}{3}y$$

Settu \frac{2y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+y=5.

$$4\times \frac{2}{3}y+y=5$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{2y}{3}.

$$\frac{8}{3}y+y=5$$

Leggðu \frac{8y}{3} saman við y.

$$\frac{11}{3}y=5$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{11}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{15}{11}$$

Skiptu \frac{15}{11} út fyrir y í x=\frac{2}{3}y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{15}{11}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum \frac{15}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{10}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{15}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-2y=0,4x+y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{4}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 5\\\frac{3}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{11}\\\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{15}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-2y=0,4x+y=5$$

Til að gera 3x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y=0,3\times 4x+3y=3\times 5$$

Einfaldaðu.

$$12x-8y=0,12x+3y=15$$

Dragðu 12x+3y=15 frá 12x-8y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x-8y-3y=-15$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-8y-3y=-15$$

Leggðu -8y saman við -3y.

$$-11y=-15$$

Deildu báðum hliðum með -11.

$$y=\frac{15}{11}$$

Skiptu \frac{15}{11} út fyrir y í 4x+y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+\frac{15}{11}=5$$

Dragðu \frac{15}{11} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=\frac{40}{11}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{10}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{15}{11}$$