Leysa {l}{3x-2y=1/27}{2x+6y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = \frac { 1 } { 27 } } \\ { 2 x + 6 y = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{91}{99}\approx 0.919191919$$

$$y = \frac{404}{297} = 1\frac{107}{297} \approx 1.36026936$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-2y=\frac{1}{27},2x+6y=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-2y=\frac{1}{27}$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=2y+\frac{1}{27}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+\frac{1}{27}\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 2y+\frac{1}{27}.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{81}$$

Settu \frac{2y}{3}+\frac{1}{81} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+6y=10.

$$2\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{81}\right)+6y=10$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{2y}{3}+\frac{1}{81}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{2}{81}+6y=10$$

Leggðu \frac{4y}{3} saman við 6y.

$$\frac{22}{3}y+\frac{2}{81}=10$$

Dragðu \frac{2}{81} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{22}{3}y=\frac{808}{81}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{22}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{404}{297}$$

Skiptu \frac{404}{297} út fyrir y í x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{81}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{404}{297}+\frac{1}{81}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum \frac{404}{297} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{808}{891}+\frac{1}{81}$$

Leggðu \frac{1}{81} saman við \frac{808}{891} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{91}{99}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{91}{99},y=\frac{404}{297}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-2y=\frac{1}{27},2x+6y=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 6-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 6-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 6-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times \frac{1}{27}+\frac{1}{11}\times 10\\-\frac{1}{11}\times \frac{1}{27}+\frac{3}{22}\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{99}\\\frac{404}{297}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{91}{99},y=\frac{404}{297}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-2y=\frac{1}{27},2x+6y=10$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times \frac{1}{27},3\times 2x+3\times 6y=3\times 10$$

Einfaldaðu.

$$6x-4y=\frac{2}{27},6x+18y=30$$

Dragðu 6x+18y=30 frá 6x-4y=\frac{2}{27} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-4y-18y=\frac{2}{27}-30$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y-18y=\frac{2}{27}-30$$

Leggðu -4y saman við -18y.

$$-22y=\frac{2}{27}-30$$

Leggðu \frac{2}{27} saman við -30.

$$-22y=-\frac{808}{27}$$

Deildu báðum hliðum með -22.

$$y=\frac{404}{297}$$

Skiptu \frac{404}{297} út fyrir y í 2x+6y=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+6\times \frac{404}{297}=10$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{404}{297}.

$$2x+\frac{808}{99}=10$$

Dragðu \frac{808}{99} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=\frac{182}{99}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{91}{99}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{91}{99},y=\frac{404}{297}$$