Leysa {l}{3x+y=5}{7x+y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 7 x + y = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4} = 4.25$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+y=5,7x+y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+y=5$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-y+5$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Settu \frac{-y+5}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x+y=6.

$$7\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=6$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{-y+5}{3}.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{35}{3}+y=6$$

Leggðu -\frac{7y}{3} saman við y.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{35}{3}=6$$

Dragðu \frac{35}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{4}{3}y=-\frac{17}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{4}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{17}{4}$$

Skiptu \frac{17}{4} út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{4}+\frac{5}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum \frac{17}{4} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{17}{12}+\frac{5}{3}$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við -\frac{17}{12} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{1}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+y=5,7x+y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{3}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 6\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{3}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{17}{4}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+y=5,7x+y=6$$

Dragðu 7x+y=6 frá 3x+y=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-7x+y-y=5-6$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3x-7x=5-6$$

Leggðu 3x saman við -7x.

$$-4x=5-6$$

Leggðu 5 saman við -6.

$$-4x=-1$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=\frac{1}{4}$$

Skiptu \frac{1}{4} út fyrir x í 7x+y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$7\times \frac{1}{4}+y=6$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{1}{4}.

$$\frac{7}{4}+y=6$$

Dragðu \frac{7}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=\frac{17}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$