Leysa {l}{3x+y=5}{2x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 2 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-5$$

$$y=20$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+y=5,2x+y=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+y=5$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-y+5$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Settu \frac{-y+5}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=10.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=10$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-y+5}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}+y=10$$

Leggðu -\frac{2y}{3} saman við y.

$$\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}=10$$

Dragðu \frac{10}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{3}y=\frac{20}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$y=20$$

Skiptu 20 út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\times 20+\frac{5}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum 20.

$$x=\frac{-20+5}{3}$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við -\frac{20}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-5,y=20$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+y=5,2x+y=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-10\\-2\times 5+3\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\20\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-5,y=20$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+y=5,2x+y=10$$

Dragðu 2x+y=10 frá 3x+y=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-2x+y-y=5-10$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3x-2x=5-10$$

Leggðu 3x saman við -2x.

$$x=5-10$$

Leggðu 5 saman við -10.

$$x=-5$$

Skiptu -5 út fyrir x í 2x+y=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2\left(-5\right)+y=10$$

Margfaldaðu 2 sinnum -5.

$$-10+y=10$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=20$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-5,y=20$$