Leysa {l}{3x+y=1}{x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+y=1,x+y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+y=1$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-y+1$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -y+1.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

Settu \frac{-y+1}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=2.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}+y=2$$

Leggðu -\frac{y}{3} saman við y.

$$\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}=2$$

Dragðu \frac{1}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{2}{3}y=\frac{5}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{2}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{5}{2}$$

Skiptu \frac{5}{2} út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum \frac{5}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{5}{6}+\frac{1}{3}$$

Leggðu \frac{1}{3} saman við -\frac{5}{6} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{5}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+y=1,x+y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{3}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 2\\-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{5}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+y=1,x+y=2$$

Dragðu x+y=2 frá 3x+y=1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-x+y-y=1-2$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3x-x=1-2$$

Leggðu 3x saman við -x.

$$2x=1-2$$

Leggðu 1 saman við -2.

$$2x=-1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Skiptu -\frac{1}{2} út fyrir x í x+y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-\frac{1}{2}+y=2$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=\frac{5}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{5}{2}$$