Leysa {l}{3x+y=1}{4x+4y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { 4 x + 4 y = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$y=\frac{5}{8}=0.625$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+y=1$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-y+1$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -y+1.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

Settu \frac{-y+1}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+4y=3.

$$4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=3$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-y+1}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{4}{3}+4y=3$$

Leggðu -\frac{4y}{3} saman við 4y.

$$\frac{8}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

Dragðu \frac{4}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{8}{3}y=\frac{5}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{8}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{5}{8}$$

Skiptu \frac{5}{8} út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{5}{8}+\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum \frac{5}{8} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{5}{24}+\frac{1}{3}$$

Leggðu \frac{1}{3} saman við -\frac{5}{24} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{1}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-4}&-\frac{1}{3\times 4-4}\\-\frac{4}{3\times 4-4}&\frac{3}{3\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

Til að gera 3x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$4\times 3x+4y=4,3\times 4x+3\times 4y=3\times 3$$

Einfaldaðu.

$$12x+4y=4,12x+12y=9$$

Dragðu 12x+12y=9 frá 12x+4y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+4y-12y=4-9$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y-12y=4-9$$

Leggðu 4y saman við -12y.

$$-8y=4-9$$

Leggðu 4 saman við -9.

$$-8y=-5$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$y=\frac{5}{8}$$

Skiptu \frac{5}{8} út fyrir y í 4x+4y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+4\times \frac{5}{8}=3$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{5}{8}.

$$4x+\frac{5}{2}=3$$

Dragðu \frac{5}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=\frac{1}{2}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$