Leysa {l}{3x+y=0}{2x-5y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 0 } \\ { 2 x - 5 y = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{6}{17}\approx 0.352941176$$

$$y = -\frac{18}{17} = -1\frac{1}{17} \approx -1.058823529$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+y=0,2x-5y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+y=0$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-y$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-1\right)y$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -y.

$$x=-\frac{1}{3}y$$

Settu -\frac{y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-5y=6.

$$2\left(-\frac{1}{3}\right)y-5y=6$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{y}{3}.

$$-\frac{2}{3}y-5y=6$$

Leggðu -\frac{2y}{3} saman við -5y.

$$-\frac{17}{3}y=6$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{17}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{18}{17}$$

Skiptu -\frac{18}{17} út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{18}{17}\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum -\frac{18}{17} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{6}{17}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{6}{17},y=-\frac{18}{17}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+y=0,2x-5y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-5\right)-2}&\frac{3}{3\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{1}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 6\\-\frac{3}{17}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{17}\\-\frac{18}{17}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{6}{17},y=-\frac{18}{17}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+y=0,2x-5y=6$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2y=0,3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\times 6$$

Einfaldaðu.

$$6x+2y=0,6x-15y=18$$

Dragðu 6x-15y=18 frá 6x+2y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+2y+15y=-18$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y+15y=-18$$

Leggðu 2y saman við 15y.

$$17y=-18$$

Deildu báðum hliðum með 17.

$$y=-\frac{18}{17}$$

Skiptu -\frac{18}{17} út fyrir y í 2x-5y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-5\left(-\frac{18}{17}\right)=6$$

Margfaldaðu -5 sinnum -\frac{18}{17}.

$$2x+\frac{90}{17}=6$$

Dragðu \frac{90}{17} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=\frac{12}{17}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{6}{17}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{6}{17},y=-\frac{18}{17}$$