Leysa {l}{3x+7y=63}{2x+4y=38}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 63 } \\ { 2 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=7$$

$$y=6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+7y=63$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-7y+63$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+63\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -7y+63.

$$x=-\frac{7}{3}y+21$$

Settu -\frac{7y}{3}+21 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+4y=38.

$$2\left(-\frac{7}{3}y+21\right)+4y=38$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{7y}{3}+21.

$$-\frac{14}{3}y+42+4y=38$$

Leggðu -\frac{14y}{3} saman við 4y.

$$-\frac{2}{3}y+42=38$$

Dragðu 42 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{2}{3}y=-4$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{2}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í x=-\frac{7}{3}y+21. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{7}{3}\times 6+21$$

Margfaldaðu -\frac{7}{3} sinnum 6.

$$x=-14+21$$

Leggðu 21 saman við -14.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-7\times 2}&-\frac{7}{3\times 4-7\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-7\times 2}&\frac{3}{3\times 4-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{7}{2}\\1&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 63+\frac{7}{2}\times 38\\63-\frac{3}{2}\times 38\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=7,y=6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\times 7y=2\times 63,3\times 2x+3\times 4y=3\times 38$$

Einfaldaðu.

$$6x+14y=126,6x+12y=114$$

Dragðu 6x+12y=114 frá 6x+14y=126 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+14y-12y=126-114$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$14y-12y=126-114$$

Leggðu 14y saman við -12y.

$$2y=126-114$$

Leggðu 126 saman við -114.

$$2y=12$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í 2x+4y=38. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+4\times 6=38$$

Margfaldaðu 4 sinnum 6.

$$2x+24=38$$

Dragðu 24 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=14$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=6$$