Leysa {l}{3x+7y=13}{5x-4y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 13 } \\ { 5 x - 4 y = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+7y=13,5x-4y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+7y=13$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-7y+13$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+13\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -7y+13.

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{13}{3}$$

Settu \frac{-7y+13}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-4y=6.

$$5\left(-\frac{7}{3}y+\frac{13}{3}\right)-4y=6$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-7y+13}{3}.

$$-\frac{35}{3}y+\frac{65}{3}-4y=6$$

Leggðu -\frac{35y}{3} saman við -4y.

$$-\frac{47}{3}y+\frac{65}{3}=6$$

Dragðu \frac{65}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{47}{3}y=-\frac{47}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{47}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=-\frac{7}{3}y+\frac{13}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{-7+13}{3}$$

Leggðu \frac{13}{3} saman við -\frac{7}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+7y=13,5x-4y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-7\times 5}&-\frac{7}{3\left(-4\right)-7\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-7\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{47}&\frac{7}{47}\\\frac{5}{47}&-\frac{3}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{47}\times 13+\frac{7}{47}\times 6\\\frac{5}{47}\times 13-\frac{3}{47}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+7y=13,5x-4y=6$$

Til að gera 3x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$5\times 3x+5\times 7y=5\times 13,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Einfaldaðu.

$$15x+35y=65,15x-12y=18$$

Dragðu 15x-12y=18 frá 15x+35y=65 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x+35y+12y=65-18$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$35y+12y=65-18$$

Leggðu 35y saman við 12y.

$$47y=65-18$$

Leggðu 65 saman við -18.

$$47y=47$$

Deildu báðum hliðum með 47.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í 5x-4y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-4=6$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=10$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=1$$