Leysa {l}{3x+7y=10}{4x-19y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 10 } \\ { 4 x - 19 y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{239}{85} = 2\frac{69}{85} \approx 2.811764706$$

$$y=\frac{19}{85}\approx 0.223529412$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+7y=10$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-7y+10$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -7y+10.

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}$$

Settu \frac{-7y+10}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-19y=7.

$$4\left(-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}\right)-19y=7$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-7y+10}{3}.

$$-\frac{28}{3}y+\frac{40}{3}-19y=7$$

Leggðu -\frac{28y}{3} saman við -19y.

$$-\frac{85}{3}y+\frac{40}{3}=7$$

Dragðu \frac{40}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{85}{3}y=-\frac{19}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{85}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{19}{85}$$

Skiptu \frac{19}{85} út fyrir y í x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{7}{3}\times \frac{19}{85}+\frac{10}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{7}{3} sinnum \frac{19}{85} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{133}{255}+\frac{10}{3}$$

Leggðu \frac{10}{3} saman við -\frac{133}{255} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{239}{85}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{3\left(-19\right)-7\times 4}&-\frac{7}{3\left(-19\right)-7\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-19\right)-7\times 4}&\frac{3}{3\left(-19\right)-7\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}&\frac{7}{85}\\\frac{4}{85}&-\frac{3}{85}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}\times 10+\frac{7}{85}\times 7\\\frac{4}{85}\times 10-\frac{3}{85}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{239}{85}\\\frac{19}{85}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

Til að gera 3x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$4\times 3x+4\times 7y=4\times 10,3\times 4x+3\left(-19\right)y=3\times 7$$

Einfaldaðu.

$$12x+28y=40,12x-57y=21$$

Dragðu 12x-57y=21 frá 12x+28y=40 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+28y+57y=40-21$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$28y+57y=40-21$$

Leggðu 28y saman við 57y.

$$85y=40-21$$

Leggðu 40 saman við -21.

$$85y=19$$

Deildu báðum hliðum með 85.

$$y=\frac{19}{85}$$

Skiptu \frac{19}{85} út fyrir y í 4x-19y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x-19\times \frac{19}{85}=7$$

Margfaldaðu -19 sinnum \frac{19}{85}.

$$4x-\frac{361}{85}=7$$

Leggðu \frac{361}{85} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=\frac{956}{85}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{239}{85}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$