Leysa {l}{3x+5y=21}{5x+2y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 21 } \\ { 5 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{22}{19} = -1\frac{3}{19} \approx -1.157894737$$

$$y = \frac{93}{19} = 4\frac{17}{19} \approx 4.894736842$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+5y=21$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-5y+21$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+21\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -5y+21.

$$x=-\frac{5}{3}y+7$$

Settu -\frac{5y}{3}+7 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+2y=4.

$$5\left(-\frac{5}{3}y+7\right)+2y=4$$

Margfaldaðu 5 sinnum -\frac{5y}{3}+7.

$$-\frac{25}{3}y+35+2y=4$$

Leggðu -\frac{25y}{3} saman við 2y.

$$-\frac{19}{3}y+35=4$$

Dragðu 35 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{19}{3}y=-31$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{19}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{93}{19}$$

Skiptu \frac{93}{19} út fyrir y í x=-\frac{5}{3}y+7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{93}{19}+7$$

Margfaldaðu -\frac{5}{3} sinnum \frac{93}{19} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{155}{19}+7$$

Leggðu 7 saman við -\frac{155}{19}.

$$x=-\frac{22}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}&\frac{3}{3\times 2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{5}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 21+\frac{5}{19}\times 4\\\frac{5}{19}\times 21-\frac{3}{19}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{19}\\\frac{93}{19}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

Til að gera 3x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$5\times 3x+5\times 5y=5\times 21,3\times 5x+3\times 2y=3\times 4$$

Einfaldaðu.

$$15x+25y=105,15x+6y=12$$

Dragðu 15x+6y=12 frá 15x+25y=105 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x+25y-6y=105-12$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$25y-6y=105-12$$

Leggðu 25y saman við -6y.

$$19y=105-12$$

Leggðu 105 saman við -12.

$$19y=93$$

Deildu báðum hliðum með 19.

$$y=\frac{93}{19}$$

Skiptu \frac{93}{19} út fyrir y í 5x+2y=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+2\times \frac{93}{19}=4$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{93}{19}.

$$5x+\frac{186}{19}=4$$

Dragðu \frac{186}{19} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-\frac{110}{19}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=-\frac{22}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$