Leysa {l}{3x+5y=-8}{4x+13y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 8 } \\ { 4 x + 13 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-6$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+5y=-8,4x+13y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+5y=-8$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-5y-8$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -5y-8.

$$x=-\frac{5}{3}y-\frac{8}{3}$$

Settu \frac{-5y-8}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+13y=2.

$$4\left(-\frac{5}{3}y-\frac{8}{3}\right)+13y=2$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-5y-8}{3}.

$$-\frac{20}{3}y-\frac{32}{3}+13y=2$$

Leggðu -\frac{20y}{3} saman við 13y.

$$\frac{19}{3}y-\frac{32}{3}=2$$

Leggðu \frac{32}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{19}{3}y=\frac{38}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{19}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{5}{3}y-\frac{8}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{3}\times 2-\frac{8}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{3} sinnum 2.

$$x=\frac{-10-8}{3}$$

Leggðu -\frac{8}{3} saman við -\frac{10}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-6,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+5y=-8,4x+13y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{3\times 13-5\times 4}&-\frac{5}{3\times 13-5\times 4}\\-\frac{4}{3\times 13-5\times 4}&\frac{3}{3\times 13-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}&-\frac{5}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}\left(-8\right)-\frac{5}{19}\times 2\\-\frac{4}{19}\left(-8\right)+\frac{3}{19}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-6,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+5y=-8,4x+13y=2$$

Til að gera 3x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$4\times 3x+4\times 5y=4\left(-8\right),3\times 4x+3\times 13y=3\times 2$$

Einfaldaðu.

$$12x+20y=-32,12x+39y=6$$

Dragðu 12x+39y=6 frá 12x+20y=-32 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+20y-39y=-32-6$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$20y-39y=-32-6$$

Leggðu 20y saman við -39y.

$$-19y=-32-6$$

Leggðu -32 saman við -6.

$$-19y=-38$$

Deildu báðum hliðum með -19.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 4x+13y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+13\times 2=2$$

Margfaldaðu 13 sinnum 2.

$$4x+26=2$$

Dragðu 26 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-24$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=-6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-6,y=2$$