Leysa {l}{3x+5y=-24}{-5x+2y=-22x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 24 } \\ { - 5 x + 2 y = - 22 x } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{48}{79}\approx 0.607594937$$

$$y = -\frac{408}{79} = -5\frac{13}{79} \approx -5.164556962$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 22x við báðar hliðar.

$$-5x+2y+22x=0$$

Sameinaðu -5x og 22x til að fá 17x.

$$17x+2y=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+5y=-24$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-5y-24$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-24\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -5y-24.

$$x=-\frac{5}{3}y-8$$

Settu -\frac{5y}{3}-8 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 17x+2y=0.

$$17\left(-\frac{5}{3}y-8\right)+2y=0$$

Margfaldaðu 17 sinnum -\frac{5y}{3}-8.

$$-\frac{85}{3}y-136+2y=0$$

Leggðu -\frac{85y}{3} saman við 2y.

$$-\frac{79}{3}y-136=0$$

Leggðu 136 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{79}{3}y=136$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{79}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{408}{79}$$

Skiptu -\frac{408}{79} út fyrir y í x=-\frac{5}{3}y-8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{408}{79}\right)-8$$

Margfaldaðu -\frac{5}{3} sinnum -\frac{408}{79} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{680}{79}-8$$

Leggðu -8 saman við \frac{680}{79}.

$$x=\frac{48}{79}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 22x við báðar hliðar.

$$-5x+2y+22x=0$$

Sameinaðu -5x og 22x til að fá 17x.

$$17x+2y=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 17}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 17}\\-\frac{17}{3\times 2-5\times 17}&\frac{3}{3\times 2-5\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}&\frac{5}{79}\\\frac{17}{79}&-\frac{3}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}\left(-24\right)\\\frac{17}{79}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{79}\\-\frac{408}{79}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 22x við báðar hliðar.

$$-5x+2y+22x=0$$

Sameinaðu -5x og 22x til að fá 17x.

$$17x+2y=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Til að gera 3x og 17x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 17 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$17\times 3x+17\times 5y=17\left(-24\right),3\times 17x+3\times 2y=0$$

Einfaldaðu.

$$51x+85y=-408,51x+6y=0$$

Dragðu 51x+6y=0 frá 51x+85y=-408 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$51x-51x+85y-6y=-408$$

Leggðu 51x saman við -51x. Liðirnir 51x og -51x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$85y-6y=-408$$

Leggðu 85y saman við -6y.

$$79y=-408$$

Deildu báðum hliðum með 79.

$$y=-\frac{408}{79}$$

Skiptu -\frac{408}{79} út fyrir y í 17x+2y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$17x+2\left(-\frac{408}{79}\right)=0$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{408}{79}.

$$17x-\frac{816}{79}=0$$

Leggðu \frac{816}{79} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$17x=\frac{816}{79}$$

Deildu báðum hliðum með 17.

$$x=\frac{48}{79}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$