Leysa {l}{3x+4y=85}{x+y=25}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 85 } \\ { x + y = 25 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=15$$

$$y=10$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+4y=85$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-4y+85$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+85\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -4y+85.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}$$

Settu \frac{-4y+85}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=25.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}+y=25$$

Leggðu -\frac{4y}{3} saman við y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{85}{3}=25$$

Dragðu \frac{85}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -3.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{4}{3}\times 10+\frac{85}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum 10.

$$x=\frac{-40+85}{3}$$

Leggðu \frac{85}{3} saman við -\frac{40}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=15$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=15,y=10$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4}&-\frac{4}{3-4}\\-\frac{1}{3-4}&\frac{3}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85+4\times 25\\85-3\times 25\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=15,y=10$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

Til að gera 3x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$3x+4y=85,3x+3y=3\times 25$$

Einfaldaðu.

$$3x+4y=85,3x+3y=75$$

Dragðu 3x+3y=75 frá 3x+4y=85 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+4y-3y=85-75$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y-3y=85-75$$

Leggðu 4y saman við -3y.

$$y=85-75$$

Leggðu 85 saman við -75.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í x+y=25. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+10=25$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=15$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=15,y=10$$