Leysa {l}{3x+4y=4.65}{5x+8y=8.55}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 4.65 } \\ { 5 x + 8 y = 8.55 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0.75$$

$$y=0.6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+4y=4.65,5x+8y=8.55$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+4y=4.65$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-4y+4.65$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+4.65\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -4y+4.65.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{31}{20}$$

Settu -\frac{4y}{3}+\frac{31}{20} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+8y=8.55.

$$5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{31}{20}\right)+8y=8.55$$

Margfaldaðu 5 sinnum -\frac{4y}{3}+\frac{31}{20}.

$$-\frac{20}{3}y+\frac{31}{4}+8y=8.55$$

Leggðu -\frac{20y}{3} saman við 8y.

$$\frac{4}{3}y+\frac{31}{4}=8.55$$

Dragðu \frac{31}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{4}{3}y=\frac{4}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{4}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{3}{5}$$

Skiptu \frac{3}{5} út fyrir y í x=-\frac{4}{3}y+\frac{31}{20}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{3}{5}+\frac{31}{20}$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum \frac{3}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{4}{5}+\frac{31}{20}$$

Leggðu \frac{31}{20} saman við -\frac{4}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{3}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{3}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+4y=4.65,5x+8y=8.55$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4.65\\8.55\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&4\\5&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.65\\8.55\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.65\\8.55\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.65\\8.55\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-4\times 5}&-\frac{4}{3\times 8-4\times 5}\\-\frac{5}{3\times 8-4\times 5}&\frac{3}{3\times 8-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4.65\\8.55\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-\frac{5}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4.65\\8.55\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 4.65-8.55\\-\frac{5}{4}\times 4.65+\frac{3}{4}\times 8.55\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.75\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0.75,y=\frac{3}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+4y=4.65,5x+8y=8.55$$

Til að gera 3x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$5\times 3x+5\times 4y=5\times 4.65,3\times 5x+3\times 8y=3\times 8.55$$

Einfaldaðu.

$$15x+20y=23.25,15x+24y=25.65$$

Dragðu 15x+24y=25.65 frá 15x+20y=23.25 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x+20y-24y=23.25-25.65$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$20y-24y=23.25-25.65$$

Leggðu 20y saman við -24y.

$$-4y=23.25-25.65$$

Leggðu 23.25 saman við -25.65 með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$-4y=-2.4$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=\frac{3}{5}$$

Skiptu \frac{3}{5} út fyrir y í 5x+8y=8.55. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+8\times \frac{3}{5}=8.55$$

Margfaldaðu 8 sinnum \frac{3}{5}.

$$5x+\frac{24}{5}=8.55$$

Dragðu \frac{24}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=\frac{15}{4}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{3}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{3}{5}$$