Leysa {l}{3x+4y=3}{8x+7y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 3 } \\ { 8 x + 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{35}{11} = 3\frac{2}{11} \approx 3.181818182$$

$$y = -\frac{18}{11} = -1\frac{7}{11} \approx -1.636363636$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+4y=3$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-4y+3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -4y+3.

$$x=-\frac{4}{3}y+1$$

Settu -\frac{4y}{3}+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 8x+7y=14.

$$8\left(-\frac{4}{3}y+1\right)+7y=14$$

Margfaldaðu 8 sinnum -\frac{4y}{3}+1.

$$-\frac{32}{3}y+8+7y=14$$

Leggðu -\frac{32y}{3} saman við 7y.

$$-\frac{11}{3}y+8=14$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{11}{3}y=6$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{11}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{18}{11}$$

Skiptu -\frac{18}{11} út fyrir y í x=-\frac{4}{3}y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{18}{11}\right)+1$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum -\frac{18}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{24}{11}+1$$

Leggðu 1 saman við \frac{24}{11}.

$$x=\frac{35}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-4\times 8}&-\frac{4}{3\times 7-4\times 8}\\-\frac{8}{3\times 7-4\times 8}&\frac{3}{3\times 7-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{8}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}\times 3+\frac{4}{11}\times 14\\\frac{8}{11}\times 3-\frac{3}{11}\times 14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{11}\\-\frac{18}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

Til að gera 3x og 8x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$8\times 3x+8\times 4y=8\times 3,3\times 8x+3\times 7y=3\times 14$$

Einfaldaðu.

$$24x+32y=24,24x+21y=42$$

Dragðu 24x+21y=42 frá 24x+32y=24 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$24x-24x+32y-21y=24-42$$

Leggðu 24x saman við -24x. Liðirnir 24x og -24x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$32y-21y=24-42$$

Leggðu 32y saman við -21y.

$$11y=24-42$$

Leggðu 24 saman við -42.

$$11y=-18$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$y=-\frac{18}{11}$$

Skiptu -\frac{18}{11} út fyrir y í 8x+7y=14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$8x+7\left(-\frac{18}{11}\right)=14$$

Margfaldaðu 7 sinnum -\frac{18}{11}.

$$8x-\frac{126}{11}=14$$

Leggðu \frac{126}{11} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$8x=\frac{280}{11}$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=\frac{35}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$