Leysa {l}{3x+4y=28}{9x-6y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 28 } \\ { 9 x - 6 y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{100}{27} = 3\frac{19}{27} \approx 3.703703704$$

$$y = \frac{38}{9} = 4\frac{2}{9} \approx 4.222222222$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+4y=28$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-4y+28$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+28\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -4y+28.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}$$

Settu \frac{-4y+28}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 9x-6y=8.

$$9\left(-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}\right)-6y=8$$

Margfaldaðu 9 sinnum \frac{-4y+28}{3}.

$$-12y+84-6y=8$$

Leggðu -12y saman við -6y.

$$-18y+84=8$$

Dragðu 84 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-18y=-76$$

Deildu báðum hliðum með -18.

$$y=\frac{38}{9}$$

Skiptu \frac{38}{9} út fyrir y í x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{38}{9}+\frac{28}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum \frac{38}{9} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{152}{27}+\frac{28}{3}$$

Leggðu \frac{28}{3} saman við -\frac{152}{27} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{100}{27}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-4\times 9}&-\frac{4}{3\left(-6\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-6\right)-4\times 9}&\frac{3}{3\left(-6\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{27}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 28+\frac{2}{27}\times 8\\\frac{1}{6}\times 28-\frac{1}{18}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{27}\\\frac{38}{9}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

Til að gera 3x og 9x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 9 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$9\times 3x+9\times 4y=9\times 28,3\times 9x+3\left(-6\right)y=3\times 8$$

Einfaldaðu.

$$27x+36y=252,27x-18y=24$$

Dragðu 27x-18y=24 frá 27x+36y=252 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$27x-27x+36y+18y=252-24$$

Leggðu 27x saman við -27x. Liðirnir 27x og -27x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$36y+18y=252-24$$

Leggðu 36y saman við 18y.

$$54y=252-24$$

Leggðu 252 saman við -24.

$$54y=228$$

Deildu báðum hliðum með 54.

$$y=\frac{38}{9}$$

Skiptu \frac{38}{9} út fyrir y í 9x-6y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$9x-6\times \frac{38}{9}=8$$

Margfaldaðu -6 sinnum \frac{38}{9}.

$$9x-\frac{76}{3}=8$$

Leggðu \frac{76}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$9x=\frac{100}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=\frac{100}{27}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$