Leysa {l}{3x+4y=253}{y=5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 253 } \\ { y = 5 x } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=11$$

$$y=55$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+4y=253$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-4y+253$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+253\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -4y+253.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}$$

Settu \frac{-4y+253}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -5x+y=0.

$$-5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}\right)+y=0$$

Margfaldaðu -5 sinnum \frac{-4y+253}{3}.

$$\frac{20}{3}y-\frac{1265}{3}+y=0$$

Leggðu \frac{20y}{3} saman við y.

$$\frac{23}{3}y-\frac{1265}{3}=0$$

Leggðu \frac{1265}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{23}{3}y=\frac{1265}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{23}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=55$$

Skiptu 55 út fyrir y í x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{4}{3}\times 55+\frac{253}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum 55.

$$x=\frac{-220+253}{3}$$

Leggðu \frac{253}{3} saman við -\frac{220}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=11$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=11,y=55$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3-4\left(-5\right)}&\frac{3}{3-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&-\frac{4}{23}\\\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 253\\\frac{5}{23}\times 253\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\55\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=11,y=55$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Til að gera 3x og -5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$-5\times 3x-5\times 4y=-5\times 253,3\left(-5\right)x+3y=0$$

Einfaldaðu.

$$-15x-20y=-1265,-15x+3y=0$$

Dragðu -15x+3y=0 frá -15x-20y=-1265 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-15x+15x-20y-3y=-1265$$

Leggðu -15x saman við 15x. Liðirnir -15x og 15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-20y-3y=-1265$$

Leggðu -20y saman við -3y.

$$-23y=-1265$$

Deildu báðum hliðum með -23.

$$y=55$$

Skiptu 55 út fyrir y í -5x+y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-5x+55=0$$

Dragðu 55 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=-55$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=11$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=11,y=55$$