Leysa {l}{3x+4y=1}{4x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 1 } \\ { 4 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{7}{13}\approx 0.538461538$$

$$y=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+4y=1$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-4y+1$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -4y+1.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

Settu \frac{-4y+1}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+y=2.

$$4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)+y=2$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-4y+1}{3}.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{4}{3}+y=2$$

Leggðu -\frac{16y}{3} saman við y.

$$-\frac{13}{3}y+\frac{4}{3}=2$$

Dragðu \frac{4}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{13}{3}y=\frac{2}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{13}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{2}{13}$$

Skiptu -\frac{2}{13} út fyrir y í x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{2}{13}\right)+\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum -\frac{2}{13} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{8}{39}+\frac{1}{3}$$

Leggðu \frac{1}{3} saman við \frac{8}{39} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{7}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\times 4}&-\frac{4}{3-4\times 4}\\-\frac{4}{3-4\times 4}&\frac{3}{3-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{4}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}+\frac{4}{13}\times 2\\\frac{4}{13}-\frac{3}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}\\-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

Til að gera 3x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$4\times 3x+4\times 4y=4,3\times 4x+3y=3\times 2$$

Einfaldaðu.

$$12x+16y=4,12x+3y=6$$

Dragðu 12x+3y=6 frá 12x+16y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+16y-3y=4-6$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$16y-3y=4-6$$

Leggðu 16y saman við -3y.

$$13y=4-6$$

Leggðu 4 saman við -6.

$$13y=-2$$

Deildu báðum hliðum með 13.

$$y=-\frac{2}{13}$$

Skiptu -\frac{2}{13} út fyrir y í 4x+y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x-\frac{2}{13}=2$$

Leggðu \frac{2}{13} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=\frac{28}{13}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{7}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$