Leysa {l}{3x+4y=1}{2x+3y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 1 } \\ { 2 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=7$$

$$y=-5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+4y=1$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-4y+1$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -4y+1.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

Settu \frac{-4y+1}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+3y=-1.

$$2\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)+3y=-1$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-4y+1}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{2}{3}+3y=-1$$

Leggðu -\frac{8y}{3} saman við 3y.

$$\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}=-1$$

Dragðu \frac{2}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{3}y=-\frac{5}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$y=-5$$

Skiptu -5 út fyrir y í x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-5\right)+\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum -5.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

Leggðu \frac{1}{3} saman við \frac{20}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=-5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-4\times 2}&\frac{3}{3\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-4\left(-1\right)\\-2+3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=7,y=-5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\times 4y=2,3\times 2x+3\times 3y=3\left(-1\right)$$

Einfaldaðu.

$$6x+8y=2,6x+9y=-3$$

Dragðu 6x+9y=-3 frá 6x+8y=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+8y-9y=2+3$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8y-9y=2+3$$

Leggðu 8y saman við -9y.

$$-y=2+3$$

Leggðu 2 saman við 3.

$$-y=5$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=-5$$

Skiptu -5 út fyrir y í 2x+3y=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+3\left(-5\right)=-1$$

Margfaldaðu 3 sinnum -5.

$$2x-15=-1$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=14$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=-5$$