Leysa {l}{3x+4y=-4}{4x+3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = - 4 } \\ { 4 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{36}{7} = 5\frac{1}{7} \approx 5.142857143$$

$$y = -\frac{34}{7} = -4\frac{6}{7} \approx -4.857142857$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+4y=-4$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-4y-4$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -4y-4.

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}$$

Settu \frac{-4y-4}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+3y=6.

$$4\left(-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}\right)+3y=6$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-4y-4}{3}.

$$-\frac{16}{3}y-\frac{16}{3}+3y=6$$

Leggðu -\frac{16y}{3} saman við 3y.

$$-\frac{7}{3}y-\frac{16}{3}=6$$

Leggðu \frac{16}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{7}{3}y=\frac{34}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{7}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{34}{7}$$

Skiptu -\frac{34}{7} út fyrir y í x=-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{34}{7}\right)-\frac{4}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum -\frac{34}{7} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{136}{21}-\frac{4}{3}$$

Leggðu -\frac{4}{3} saman við \frac{136}{21} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{36}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 4}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 4}\\-\frac{4}{3\times 3-4\times 4}&\frac{3}{3\times 3-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\left(-4\right)+\frac{4}{7}\times 6\\\frac{4}{7}\left(-4\right)-\frac{3}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{36}{7}\\-\frac{34}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

Til að gera 3x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$4\times 3x+4\times 4y=4\left(-4\right),3\times 4x+3\times 3y=3\times 6$$

Einfaldaðu.

$$12x+16y=-16,12x+9y=18$$

Dragðu 12x+9y=18 frá 12x+16y=-16 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+16y-9y=-16-18$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$16y-9y=-16-18$$

Leggðu 16y saman við -9y.

$$7y=-16-18$$

Leggðu -16 saman við -18.

$$7y=-34$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=-\frac{34}{7}$$

Skiptu -\frac{34}{7} út fyrir y í 4x+3y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+3\left(-\frac{34}{7}\right)=6$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{34}{7}.

$$4x-\frac{102}{7}=6$$

Leggðu \frac{102}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=\frac{144}{7}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{36}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$