Leysa {l}{3x+4=y}{4x+6=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 = y } \\ { 4 x + 6 = y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$3x+4-y=0$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$3x-y=-4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$4x+6-y=0$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$4x-y=-6$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-y=-4,4x-y=-6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-y=-4$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=y-4$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum y-4.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}$$

Settu \frac{-4+y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-y=-6.

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}\right)-y=-6$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-4+y}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{16}{3}-y=-6$$

Leggðu \frac{4y}{3} saman við -y.

$$\frac{1}{3}y-\frac{16}{3}=-6$$

Leggðu \frac{16}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{4}{3}$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2.

$$x=\frac{-2-4}{3}$$

Leggðu -\frac{4}{3} saman við -\frac{2}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$3x+4-y=0$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$3x-y=-4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$4x+6-y=0$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$4x-y=-6$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-y=-4,4x-y=-6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-4\right)-6\\-4\left(-4\right)+3\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=-2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$3x+4-y=0$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$3x-y=-4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$4x+6-y=0$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$4x-y=-6$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-y=-4,4x-y=-6$$

Dragðu 4x-y=-6 frá 3x-y=-4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-4x-y+y=-4+6$$

Leggðu -y saman við y. Liðirnir -y og y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3x-4x=-4+6$$

Leggðu 3x saman við -4x.

$$-x=-4+6$$

Leggðu -4 saman við 6.

$$-x=2$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-2$$

Skiptu -2 út fyrir x í 4x-y=-6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$4\left(-2\right)-y=-6$$

Margfaldaðu 4 sinnum -2.

$$-8-y=-6$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-y=2$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-2$$