Leysa {l}{3x+2y=87}{5x+6y=187}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 87 } \\ { 5 x + 6 y = 187 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{37}{2} = 18\frac{1}{2} = 18.5$$

$$y = \frac{63}{4} = 15\frac{3}{4} = 15.75$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+2y=87$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-2y+87$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+87\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2y+87.

$$x=-\frac{2}{3}y+29$$

Settu -\frac{2y}{3}+29 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+6y=187.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+29\right)+6y=187$$

Margfaldaðu 5 sinnum -\frac{2y}{3}+29.

$$-\frac{10}{3}y+145+6y=187$$

Leggðu -\frac{10y}{3} saman við 6y.

$$\frac{8}{3}y+145=187$$

Dragðu 145 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{8}{3}y=42$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{8}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{63}{4}$$

Skiptu \frac{63}{4} út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y+29. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{63}{4}+29$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum \frac{63}{4} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{21}{2}+29$$

Leggðu 29 saman við -\frac{21}{2}.

$$x=\frac{37}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 5}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 5}\\-\frac{5}{3\times 6-2\times 5}&\frac{3}{3\times 6-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 87-\frac{1}{4}\times 187\\-\frac{5}{8}\times 87+\frac{3}{8}\times 187\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{2}\\\frac{63}{4}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

Til að gera 3x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 87,3\times 5x+3\times 6y=3\times 187$$

Einfaldaðu.

$$15x+10y=435,15x+18y=561$$

Dragðu 15x+18y=561 frá 15x+10y=435 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x+10y-18y=435-561$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10y-18y=435-561$$

Leggðu 10y saman við -18y.

$$-8y=435-561$$

Leggðu 435 saman við -561.

$$-8y=-126$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$y=\frac{63}{4}$$

Skiptu \frac{63}{4} út fyrir y í 5x+6y=187. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+6\times \frac{63}{4}=187$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{63}{4}.

$$5x+\frac{189}{2}=187$$

Dragðu \frac{189}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=\frac{185}{2}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{37}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$