Leysa {l}{3x+2y=8}{2x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 8 } \\ { 2 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+2y=8$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-2y+8$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2y+8.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Settu \frac{-2y+8}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+3y=9.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)+3y=9$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-2y+8}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

Leggðu -\frac{4y}{3} saman við 3y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}=9$$

Dragðu \frac{16}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{3}y=\frac{11}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{11}{5}$$

Skiptu \frac{11}{5} út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{11}{5}+\frac{8}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum \frac{11}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{22}{15}+\frac{8}{3}$$

Leggðu \frac{8}{3} saman við -\frac{22}{15} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{6}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}&\frac{3}{3\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 8-\frac{2}{5}\times 9\\-\frac{2}{5}\times 8+\frac{3}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 8,3\times 2x+3\times 3y=3\times 9$$

Einfaldaðu.

$$6x+4y=16,6x+9y=27$$

Dragðu 6x+9y=27 frá 6x+4y=16 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+4y-9y=16-27$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y-9y=16-27$$

Leggðu 4y saman við -9y.

$$-5y=16-27$$

Leggðu 16 saman við -27.

$$-5y=-11$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=\frac{11}{5}$$

Skiptu \frac{11}{5} út fyrir y í 2x+3y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+3\times \frac{11}{5}=9$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{11}{5}.

$$2x+\frac{33}{5}=9$$

Dragðu \frac{33}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=\frac{12}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{6}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$