Leysa {l}{3x+2y=5}{2x-y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 5 } \\ { 2 x - y = - 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{1}{7}\approx -0.142857143$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+2y=5,2x-y=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+2y=5$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-2y+5$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2y+5.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Settu \frac{-2y+5}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-y=-3.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)-y=-3$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-2y+5}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}-y=-3$$

Leggðu -\frac{4y}{3} saman við -y.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}=-3$$

Dragðu \frac{10}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{19}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{7}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{19}{7}$$

Skiptu \frac{19}{7} út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{19}{7}+\frac{5}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum \frac{19}{7} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{38}{21}+\frac{5}{3}$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við -\frac{38}{21} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{1}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{7},y=\frac{19}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+2y=5,2x-y=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5+\frac{2}{7}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 5-\frac{3}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{1}{7},y=\frac{19}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+2y=5,2x-y=-3$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 5,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\left(-3\right)$$

Einfaldaðu.

$$6x+4y=10,6x-3y=-9$$

Dragðu 6x-3y=-9 frá 6x+4y=10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+4y+3y=10+9$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y+3y=10+9$$

Leggðu 4y saman við 3y.

$$7y=10+9$$

Leggðu 10 saman við 9.

$$7y=19$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=\frac{19}{7}$$

Skiptu \frac{19}{7} út fyrir y í 2x-y=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-\frac{19}{7}=-3$$

Leggðu \frac{19}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=-\frac{2}{7}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-\frac{1}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{7},y=\frac{19}{7}$$