Leysa {l}{3x+2y=32}{-x+3y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { - x + 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=7$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+2y=32$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-2y+32$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2y+32.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

Settu \frac{-2y+32}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+3y=15.

$$-\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+3y=15$$

Margfaldaðu -1 sinnum \frac{-2y+32}{3}.

$$\frac{2}{3}y-\frac{32}{3}+3y=15$$

Leggðu \frac{2y}{3} saman við 3y.

$$\frac{11}{3}y-\frac{32}{3}=15$$

Leggðu \frac{32}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{11}{3}y=\frac{77}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{11}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{3}\times 7+\frac{32}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum 7.

$$x=\frac{-14+32}{3}$$

Leggðu \frac{32}{3} saman við -\frac{14}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=7$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\times 3-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 3-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 32-\frac{2}{11}\times 15\\\frac{1}{11}\times 32+\frac{3}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=7$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

Til að gera 3x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$-3x-2y=-32,3\left(-1\right)x+3\times 3y=3\times 15$$

Einfaldaðu.

$$-3x-2y=-32,-3x+9y=45$$

Dragðu -3x+9y=45 frá -3x-2y=-32 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3x+3x-2y-9y=-32-45$$

Leggðu -3x saman við 3x. Liðirnir -3x og 3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y-9y=-32-45$$

Leggðu -2y saman við -9y.

$$-11y=-32-45$$

Leggðu -32 saman við -45.

$$-11y=-77$$

Deildu báðum hliðum með -11.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í -x+3y=15. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+3\times 7=15$$

Margfaldaðu 3 sinnum 7.

$$-x+21=15$$

Dragðu 21 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-6$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=7$$