Leysa {l}{3x+2y=3}{x-y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 3 } \\ { x - y = 21 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=9$$

$$y=-12$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+2y=3,x-y=21$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+2y=3$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-2y+3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2y+3.

$$x=-\frac{2}{3}y+1$$

Settu -\frac{2y}{3}+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-y=21.

$$-\frac{2}{3}y+1-y=21$$

Leggðu -\frac{2y}{3} saman við -y.

$$-\frac{5}{3}y+1=21$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{5}{3}y=20$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-12$$

Skiptu -12 út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-12\right)+1$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum -12.

$$x=8+1$$

Leggðu 1 saman við 8.

$$x=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=-12$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+2y=3,x-y=21$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{2}{5}\times 21\\\frac{1}{5}\times 3-\frac{3}{5}\times 21\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=9,y=-12$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+2y=3,x-y=21$$

Til að gera 3x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$3x+2y=3,3x+3\left(-1\right)y=3\times 21$$

Einfaldaðu.

$$3x+2y=3,3x-3y=63$$

Dragðu 3x-3y=63 frá 3x+2y=3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+2y+3y=3-63$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y+3y=3-63$$

Leggðu 2y saman við 3y.

$$5y=3-63$$

Leggðu 3 saman við -63.

$$5y=-60$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=-12$$

Skiptu -12 út fyrir y í x-y=21. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-\left(-12\right)=21$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=-12$$