Leysa {l}{3x+2y=12}{x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 12 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+2y=12,x+y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+2y=12$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-2y+12$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2y+12.

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

Settu -\frac{2y}{3}+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=5.

$$-\frac{2}{3}y+4+y=5$$

Leggðu -\frac{2y}{3} saman við y.

$$\frac{1}{3}y+4=5$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{3}y=1$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{3}\times 3+4$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum 3.

$$x=-2+4$$

Leggðu 4 saman við -2.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+2y=12,x+y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{2}{3-2}\\-\frac{1}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12-2\times 5\\-12+3\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+2y=12,x+y=5$$

Til að gera 3x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$3x+2y=12,3x+3y=3\times 5$$

Einfaldaðu.

$$3x+2y=12,3x+3y=15$$

Dragðu 3x+3y=15 frá 3x+2y=12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+2y-3y=12-15$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y-3y=12-15$$

Leggðu 2y saman við -3y.

$$-y=12-15$$

Leggðu 12 saman við -15.

$$-y=-3$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x+y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+3=5$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=3$$