Leysa {l}{3x+2y=11}{4x+9y=117}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 11 } \\ { 4 x + 9 y = 117 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{135}{19} = -7\frac{2}{19} \approx -7.105263158$$

$$y = \frac{307}{19} = 16\frac{3}{19} \approx 16.157894737$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+2y=11$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-2y+11$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+11\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2y+11.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}$$

Settu \frac{-2y+11}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+9y=117.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}\right)+9y=117$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-2y+11}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{44}{3}+9y=117$$

Leggðu -\frac{8y}{3} saman við 9y.

$$\frac{19}{3}y+\frac{44}{3}=117$$

Dragðu \frac{44}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{19}{3}y=\frac{307}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{19}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{307}{19}$$

Skiptu \frac{307}{19} út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{307}{19}+\frac{11}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum \frac{307}{19} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{614}{57}+\frac{11}{3}$$

Leggðu \frac{11}{3} saman við -\frac{614}{57} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{135}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-2\times 4}&-\frac{2}{3\times 9-2\times 4}\\-\frac{4}{3\times 9-2\times 4}&\frac{3}{3\times 9-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{19}&-\frac{2}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{19}\times 11-\frac{2}{19}\times 117\\-\frac{4}{19}\times 11+\frac{3}{19}\times 117\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{135}{19}\\\frac{307}{19}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

Til að gera 3x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 11,3\times 4x+3\times 9y=3\times 117$$

Einfaldaðu.

$$12x+8y=44,12x+27y=351$$

Dragðu 12x+27y=351 frá 12x+8y=44 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+8y-27y=44-351$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8y-27y=44-351$$

Leggðu 8y saman við -27y.

$$-19y=44-351$$

Leggðu 44 saman við -351.

$$-19y=-307$$

Deildu báðum hliðum með -19.

$$y=\frac{307}{19}$$

Skiptu \frac{307}{19} út fyrir y í 4x+9y=117. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+9\times \frac{307}{19}=117$$

Margfaldaðu 9 sinnum \frac{307}{19}.

$$4x+\frac{2763}{19}=117$$

Dragðu \frac{2763}{19} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-\frac{540}{19}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=-\frac{135}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$