Leysa {l}{3x+2y=0}{6x+8y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 0 } \\ { 6 x + 8 y = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+2y=0,6x+8y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+2y=0$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-2y$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)y$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2y.

$$x=-\frac{2}{3}y$$

Settu -\frac{2y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x+8y=0.

$$6\left(-\frac{2}{3}\right)y+8y=0$$

Margfaldaðu 6 sinnum -\frac{2y}{3}.

$$-4y+8y=0$$

Leggðu -4y saman við 8y.

$$4y=0$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=0$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+2y=0,6x+8y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2\times 6}&-\frac{2}{3\times 8-2\times 6}\\-\frac{6}{3\times 8-2\times 6}&\frac{3}{3\times 8-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=0$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+2y=0,6x+8y=0$$

Til að gera 3x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$6\times 3x+6\times 2y=0,3\times 6x+3\times 8y=0$$

Einfaldaðu.

$$18x+12y=0,18x+24y=0$$

Dragðu 18x+24y=0 frá 18x+12y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$18x-18x+12y-24y=0$$

Leggðu 18x saman við -18x. Liðirnir 18x og -18x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y-24y=0$$

Leggðu 12y saman við -24y.

$$-12y=0$$

Deildu báðum hliðum með -12.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í 6x+8y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x=0$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=0$$