Leysa {l}{3x+2y=-10}{2x-10y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 10 } \\ { 2 x - 10 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-3$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+2y=-10$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-2y-10$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2y-10.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}$$

Settu \frac{-2y-10}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-10y=-1.

$$2\left(-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}\right)-10y=-1$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-2y-10}{3}.

$$-\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}-10y=-1$$

Leggðu -\frac{4y}{3} saman við -10y.

$$-\frac{34}{3}y-\frac{20}{3}=-1$$

Leggðu \frac{20}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{34}{3}y=\frac{17}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{34}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Skiptu -\frac{1}{2} út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{10}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum -\frac{1}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{1-10}{3}$$

Leggðu -\frac{10}{3} saman við \frac{1}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-10\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-10\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-10\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{1}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{3}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\left(-10\right)+\frac{1}{17}\left(-1\right)\\\frac{1}{17}\left(-10\right)-\frac{3}{34}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\left(-10\right),3\times 2x+3\left(-10\right)y=3\left(-1\right)$$

Einfaldaðu.

$$6x+4y=-20,6x-30y=-3$$

Dragðu 6x-30y=-3 frá 6x+4y=-20 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+4y+30y=-20+3$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y+30y=-20+3$$

Leggðu 4y saman við 30y.

$$34y=-20+3$$

Leggðu -20 saman við 3.

$$34y=-17$$

Deildu báðum hliðum með 34.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Skiptu -\frac{1}{2} út fyrir y í 2x-10y=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-10\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$$

Margfaldaðu -10 sinnum -\frac{1}{2}.

$$2x+5=-1$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$