Leysa {l}{3x+10y=11}{-10x-8y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 10 y = 11 } \\ { - 10 x - 8 y = 14 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+10y=11$$

Dragðu 10y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-10y+11$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+11\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -10y+11.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}$$

Settu \frac{-10y+11}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -10x-8y=14.

$$-10\left(-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}\right)-8y=14$$

Margfaldaðu -10 sinnum \frac{-10y+11}{3}.

$$\frac{100}{3}y-\frac{110}{3}-8y=14$$

Leggðu \frac{100y}{3} saman við -8y.

$$\frac{76}{3}y-\frac{110}{3}=14$$

Leggðu \frac{110}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{76}{3}y=\frac{152}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{76}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+\frac{11}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{10}{3} sinnum 2.

$$x=\frac{-20+11}{3}$$

Leggðu \frac{11}{3} saman við -\frac{20}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&-\frac{5}{38}\\\frac{5}{38}&\frac{3}{76}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 11-\frac{5}{38}\times 14\\\frac{5}{38}\times 11+\frac{3}{76}\times 14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-3,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

Til að gera 3x og -10x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -10 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$-10\times 3x-10\times 10y=-10\times 11,3\left(-10\right)x+3\left(-8\right)y=3\times 14$$

Einfaldaðu.

$$-30x-100y=-110,-30x-24y=42$$

Dragðu -30x-24y=42 frá -30x-100y=-110 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-30x+30x-100y+24y=-110-42$$

Leggðu -30x saman við 30x. Liðirnir -30x og 30x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-100y+24y=-110-42$$

Leggðu -100y saman við 24y.

$$-76y=-110-42$$

Leggðu -110 saman við -42.

$$-76y=-152$$

Deildu báðum hliðum með -76.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í -10x-8y=14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-10x-8\times 2=14$$

Margfaldaðu -8 sinnum 2.

$$-10x-16=14$$

Leggðu 16 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-10x=30$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=2$$