Leysa {l}{3w-2z=5}{w+2z=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir w, z

$$z=5$$

$$w=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Veldu eina jöfnuna og leystu w með því að einangra w vinstra megin við samasemmerkið.

$$3w-2z=5$$

Leggðu 2z saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3w=2z+5$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 2z+5.

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

Settu \frac{2z+5}{3} inn fyrir w í hinni jöfnunni, w+2z=15.

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

Leggðu \frac{2z}{3} saman við 2z.

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

Dragðu \frac{5}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{8}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$z=5$$

Skiptu 5 út fyrir z í w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst w strax.

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum 5.

$$w=\frac{10+5}{3}$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við \frac{10}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$w=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$w=5,z=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna w og z.

$$w=5,z=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Til að gera 3w og w jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

Einfaldaðu.

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

Dragðu 3w+6z=45 frá 3w-2z=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

Leggðu 3w saman við -3w. Liðirnir 3w og -3w núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2z-6z=5-45$$

Leggðu -2z saman við -6z.

$$-8z=5-45$$

Leggðu 5 saman við -45.

$$-8z=-40$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$z=5$$

Skiptu 5 út fyrir z í w+2z=15. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst w strax.

$$w+2\times 5=15$$

Margfaldaðu 2 sinnum 5.

$$w+10=15$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$w=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$w=5,z=5$$