Leysa {l}{3u+z=15}{u+2z=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + z = 15 } \\ { u + 2 z = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir u, z

$$z=3$$

$$u=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu u með því að einangra u vinstra megin við samasemmerkið.

$$3u+z=15$$

Dragðu z frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3u=-z+15$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$u=\frac{1}{3}\left(-z+15\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -z+15.

$$u=-\frac{1}{3}z+5$$

Settu -\frac{z}{3}+5 inn fyrir u í hinni jöfnunni, u+2z=10.

$$-\frac{1}{3}z+5+2z=10$$

Leggðu -\frac{z}{3} saman við 2z.

$$\frac{5}{3}z+5=10$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{3}z=5$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$z=3$$

Skiptu 3 út fyrir z í u=-\frac{1}{3}z+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst u strax.

$$u=-\frac{1}{3}\times 3+5$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum 3.

$$u=-1+5$$

Leggðu 5 saman við -1.

$$u=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$u=4,z=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-1}&-\frac{1}{3\times 2-1}\\-\frac{1}{3\times 2-1}&\frac{3}{3\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 15-\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna u og z.

$$u=4,z=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

Til að gera 3u og u jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$3u+z=15,3u+3\times 2z=3\times 10$$

Einfaldaðu.

$$3u+z=15,3u+6z=30$$

Dragðu 3u+6z=30 frá 3u+z=15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3u-3u+z-6z=15-30$$

Leggðu 3u saman við -3u. Liðirnir 3u og -3u núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$z-6z=15-30$$

Leggðu z saman við -6z.

$$-5z=15-30$$

Leggðu 15 saman við -30.

$$-5z=-15$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$z=3$$

Skiptu 3 út fyrir z í u+2z=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst u strax.

$$u+2\times 3=10$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3.

$$u+6=10$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$u=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$u=4,z=3$$