Leysa {l}{3u+5x=8}{5u+5x=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + 5 x = 8 } \\ { 5 u + 5 x = 14 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir u, x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$u=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu u með því að einangra u vinstra megin við samasemmerkið.

$$3u+5x=8$$

Dragðu 5x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3u=-5x+8$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$u=\frac{1}{3}\left(-5x+8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -5x+8.

$$u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$$

Settu \frac{-5x+8}{3} inn fyrir u í hinni jöfnunni, 5u+5x=14.

$$5\left(-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+5x=14$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-5x+8}{3}.

$$-\frac{25}{3}x+\frac{40}{3}+5x=14$$

Leggðu -\frac{25x}{3} saman við 5x.

$$-\frac{10}{3}x+\frac{40}{3}=14$$

Dragðu \frac{40}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{10}{3}x=\frac{2}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{10}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Skiptu -\frac{1}{5} út fyrir x í u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst u strax.

$$u=-\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{8}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{3} sinnum -\frac{1}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$u=\frac{1+8}{3}$$

Leggðu \frac{8}{3} saman við \frac{1}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$u=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&\frac{3}{3\times 5-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{2}\times 8-\frac{3}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna u og x.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Dragðu 5u+5x=14 frá 3u+5x=8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3u-5u+5x-5x=8-14$$

Leggðu 5x saman við -5x. Liðirnir 5x og -5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3u-5u=8-14$$

Leggðu 3u saman við -5u.

$$-2u=8-14$$

Leggðu 8 saman við -14.

$$-2u=-6$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$u=3$$

Skiptu 3 út fyrir u í 5u+5x=14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5\times 3+5x=14$$

Margfaldaðu 5 sinnum 3.

$$15+5x=14$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-1$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$