Leysa {l}{3t-2u=7}{9t-5u=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 t - 2 u = 7 } \\ { 9 t - 5 u = 18 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir t, u

$$t=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$u=-3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

Veldu eina jöfnuna og leystu t með því að einangra t vinstra megin við samasemmerkið.

$$3t-2u=7$$

Leggðu 2u saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3t=2u+7$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$t=\frac{1}{3}\left(2u+7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 2u+7.

$$t=\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}$$

Settu \frac{2u+7}{3} inn fyrir t í hinni jöfnunni, 9t-5u=18.

$$9\left(\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}\right)-5u=18$$

Margfaldaðu 9 sinnum \frac{2u+7}{3}.

$$6u+21-5u=18$$

Leggðu 6u saman við -5u.

$$u+21=18$$

Dragðu 21 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$u=-3$$

Skiptu -3 út fyrir u í t=\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst t strax.

$$t=\frac{2}{3}\left(-3\right)+\frac{7}{3}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum -3.

$$t=-2+\frac{7}{3}$$

Leggðu \frac{7}{3} saman við -2.

$$t=\frac{1}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&-\frac{-2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\times 7+\frac{2}{3}\times 18\\-3\times 7+18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna t og u.

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

Til að gera 3t og 9t jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 9 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$9\times 3t+9\left(-2\right)u=9\times 7,3\times 9t+3\left(-5\right)u=3\times 18$$

Einfaldaðu.

$$27t-18u=63,27t-15u=54$$

Dragðu 27t-15u=54 frá 27t-18u=63 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$27t-27t-18u+15u=63-54$$

Leggðu 27t saman við -27t. Liðirnir 27t og -27t núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-18u+15u=63-54$$

Leggðu -18u saman við 15u.

$$-3u=63-54$$

Leggðu 63 saman við -54.

$$-3u=9$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$u=-3$$

Skiptu -3 út fyrir u í 9t-5u=18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst t strax.

$$9t-5\left(-3\right)=18$$

Margfaldaðu -5 sinnum -3.

$$9t+15=18$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9t=3$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$t=\frac{1}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$