Leysa {l}{3a+b=-3}{2a-b=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = - 3 } \\ { 2 a - b = - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$b=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$3a+b=-3$$

Dragðu b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3a=-b-3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-b-3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -b-3.

$$a=-\frac{1}{3}b-1$$

Settu -\frac{b}{3}-1 inn fyrir a í hinni jöfnunni, 2a-b=-1.

$$2\left(-\frac{1}{3}b-1\right)-b=-1$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{b}{3}-1.

$$-\frac{2}{3}b-2-b=-1$$

Leggðu -\frac{2b}{3} saman við -b.

$$-\frac{5}{3}b-2=-1$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{5}{3}b=1$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$b=-\frac{3}{5}$$

Skiptu -\frac{3}{5} út fyrir b í a=-\frac{1}{3}b-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum -\frac{3}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$a=\frac{1}{5}-1$$

Leggðu -1 saman við \frac{1}{5}.

$$a=-\frac{4}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{3}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Til að gera 3a og 2a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3a+2b=2\left(-3\right),3\times 2a+3\left(-1\right)b=3\left(-1\right)$$

Einfaldaðu.

$$6a+2b=-6,6a-3b=-3$$

Dragðu 6a-3b=-3 frá 6a+2b=-6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6a-6a+2b+3b=-6+3$$

Leggðu 6a saman við -6a. Liðirnir 6a og -6a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2b+3b=-6+3$$

Leggðu 2b saman við 3b.

$$5b=-6+3$$

Leggðu -6 saman við 3.

$$5b=-3$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$b=-\frac{3}{5}$$

Skiptu -\frac{3}{5} út fyrir b í 2a-b=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$2a-\left(-\frac{3}{5}\right)=-1$$

Dragðu \frac{3}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2a=-\frac{8}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$a=-\frac{4}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$