Leysa {l}{3a+5u=17}{2a+u=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + 5 u = 17 } \\ { 2 a + u = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, u

$$a=4$$

$$u=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$3a+5u=17$$

Dragðu 5u frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3a=-5u+17$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-5u+17\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -5u+17.

$$a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}$$

Settu \frac{-5u+17}{3} inn fyrir a í hinni jöfnunni, 2a+u=9.

$$2\left(-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}\right)+u=9$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-5u+17}{3}.

$$-\frac{10}{3}u+\frac{34}{3}+u=9$$

Leggðu -\frac{10u}{3} saman við u.

$$-\frac{7}{3}u+\frac{34}{3}=9$$

Dragðu \frac{34}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{7}{3}u=-\frac{7}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{7}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$u=1$$

Skiptu 1 út fyrir u í a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=\frac{-5+17}{3}$$

Leggðu \frac{17}{3} saman við -\frac{5}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$a=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=4,u=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 2}&-\frac{5}{3-5\times 2}\\-\frac{2}{3-5\times 2}&\frac{3}{3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 17+\frac{5}{7}\times 9\\\frac{2}{7}\times 17-\frac{3}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og u.

$$a=4,u=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

Til að gera 3a og 2a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3a+2\times 5u=2\times 17,3\times 2a+3u=3\times 9$$

Einfaldaðu.

$$6a+10u=34,6a+3u=27$$

Dragðu 6a+3u=27 frá 6a+10u=34 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6a-6a+10u-3u=34-27$$

Leggðu 6a saman við -6a. Liðirnir 6a og -6a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10u-3u=34-27$$

Leggðu 10u saman við -3u.

$$7u=34-27$$

Leggðu 34 saman við -27.

$$7u=7$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$u=1$$

Skiptu 1 út fyrir u í 2a+u=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$2a+1=9$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2a=8$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$a=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=4,u=1$$