Leysa {l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir A, c

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Veldu eina jöfnuna og leystu A með því að einangra A vinstra megin við samasemmerkið.

$$3A-13c=-255$$

Leggðu 13c saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3A=13c-255$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 13c-255.

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

Settu \frac{13c}{3}-85 inn fyrir A í hinni jöfnunni, 31A-6c=-180.

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

Margfaldaðu 31 sinnum \frac{13c}{3}-85.

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

Leggðu \frac{403c}{3} saman við -6c.

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

Leggðu 2635 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{385}{3}c=2455$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{385}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$c=\frac{1473}{77}$$

Skiptu \frac{1473}{77} út fyrir c í A=\frac{13}{3}c-85. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst A strax.

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

Margfaldaðu \frac{13}{3} sinnum \frac{1473}{77} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

Leggðu -85 saman við \frac{6383}{77}.

$$A=-\frac{162}{77}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna A og c.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Til að gera 3A og 31A jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 31 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

Einfaldaðu.

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

Dragðu 93A-18c=-540 frá 93A-403c=-7905 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

Leggðu 93A saman við -93A. Liðirnir 93A og -93A núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-403c+18c=-7905+540$$

Leggðu -403c saman við 18c.

$$-385c=-7905+540$$

Leggðu -7905 saman við 540.

$$-385c=-7365$$

Deildu báðum hliðum með -385.

$$c=\frac{1473}{77}$$

Skiptu \frac{1473}{77} út fyrir c í 31A-6c=-180. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst A strax.

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

Margfaldaðu -6 sinnum \frac{1473}{77}.

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

Leggðu \frac{8838}{77} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

Deildu báðum hliðum með 31.

$$A=-\frac{162}{77}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$