Leysa {l}{3(2x-5)+2y=-41}{x-3y/9-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 ( 2 x - 5 ) + 2 y = - 41 } \\ { \frac { x - 3 y } { 9 } - y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-3$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með 2x-5.

$$6x-15+2y=-41$$

Bættu 15 við báðar hliðar.

$$6x+2y=-41+15$$

Leggðu saman -41 og 15 til að fá -26.

$$6x+2y=-26$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 9.

$$x-3y-9y=45$$

Sameinaðu -3y og -9y til að fá -12y.

$$x-12y=45$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x+2y=-26$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-2y-26$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y-26\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum -2y-26.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}$$

Settu \frac{-y-13}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-12y=45.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}-12y=45$$

Leggðu -\frac{y}{3} saman við -12y.

$$-\frac{37}{3}y-\frac{13}{3}=45$$

Leggðu \frac{13}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{37}{3}y=\frac{148}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{37}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{13}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum -4.

$$x=\frac{4-13}{3}$$

Leggðu -\frac{13}{3} saman við \frac{4}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=-4$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með 2x-5.

$$6x-15+2y=-41$$

Bættu 15 við báðar hliðar.

$$6x+2y=-41+15$$

Leggðu saman -41 og 15 til að fá -26.

$$6x+2y=-26$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 9.

$$x-3y-9y=45$$

Sameinaðu -3y og -9y til að fá -12y.

$$x-12y=45$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{6\left(-12\right)-2}&-\frac{2}{6\left(-12\right)-2}\\-\frac{1}{6\left(-12\right)-2}&\frac{6}{6\left(-12\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}&\frac{1}{37}\\\frac{1}{74}&-\frac{3}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}\left(-26\right)+\frac{1}{37}\times 45\\\frac{1}{74}\left(-26\right)-\frac{3}{37}\times 45\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-3,y=-4$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með 2x-5.

$$6x-15+2y=-41$$

Bættu 15 við báðar hliðar.

$$6x+2y=-41+15$$

Leggðu saman -41 og 15 til að fá -26.

$$6x+2y=-26$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 9.

$$x-3y-9y=45$$

Sameinaðu -3y og -9y til að fá -12y.

$$x-12y=45$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

Til að gera 6x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$6x+2y=-26,6x+6\left(-12\right)y=6\times 45$$

Einfaldaðu.

$$6x+2y=-26,6x-72y=270$$

Dragðu 6x-72y=270 frá 6x+2y=-26 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+2y+72y=-26-270$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y+72y=-26-270$$

Leggðu 2y saman við 72y.

$$74y=-26-270$$

Leggðu -26 saman við -270.

$$74y=-296$$

Deildu báðum hliðum með 74.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x-12y=45. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-12\left(-4\right)=45$$

Margfaldaðu -12 sinnum -4.

$$x+48=45$$

Dragðu 48 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=-4$$