Leysa {l}{3/2x+6y=19/8}{1/2x-9y=-23/8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 / 2 x + 6 y = \frac { 19 } { 8 } } \\ { 1 / 2 x - 9 y = \frac { - 23 } { 8 } } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8}$$

Dragðu 6y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{3}{2}x=-6y+\frac{19}{8}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{2}{3}\left(-6y+\frac{19}{8}\right)$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum -6y+\frac{19}{8}.

$$x=-4y+\frac{19}{12}$$

Settu -4y+\frac{19}{12} inn fyrir x í hinni jöfnunni, \frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}.

$$\frac{1}{2}\left(-4y+\frac{19}{12}\right)-9y=-\frac{23}{8}$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -4y+\frac{19}{12}.

$$-2y+\frac{19}{24}-9y=-\frac{23}{8}$$

Leggðu -2y saman við -9y.

$$-11y+\frac{19}{24}=-\frac{23}{8}$$

Dragðu \frac{19}{24} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-11y=-\frac{11}{3}$$

Deildu báðum hliðum með -11.

$$y=\frac{1}{3}$$

Skiptu \frac{1}{3} út fyrir y í x=-4y+\frac{19}{12}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-4\times \frac{1}{3}+\frac{19}{12}$$

Margfaldaðu -4 sinnum \frac{1}{3}.

$$x=-\frac{4}{3}+\frac{19}{12}$$

Leggðu \frac{19}{12} saman við -\frac{4}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{1}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}&-\frac{6}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{1}{33}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\times \frac{19}{8}+\frac{4}{11}\left(-\frac{23}{8}\right)\\\frac{1}{33}\times \frac{19}{8}-\frac{1}{11}\left(-\frac{23}{8}\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}$$

Til að gera \frac{3x}{2} og \frac{x}{2} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{1}{2} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með \frac{3}{2}.

$$\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\times 6y=\frac{1}{2}\times \frac{19}{8},\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\left(-9\right)y=\frac{3}{2}\left(-\frac{23}{8}\right)$$

Einfaldaðu.

$$\frac{3}{4}x+3y=\frac{19}{16},\frac{3}{4}x-\frac{27}{2}y=-\frac{69}{16}$$

Dragðu \frac{3}{4}x-\frac{27}{2}y=-\frac{69}{16} frá \frac{3}{4}x+3y=\frac{19}{16} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}x+3y+\frac{27}{2}y=\frac{19+69}{16}$$

Leggðu \frac{3x}{4} saman við -\frac{3x}{4}. Liðirnir \frac{3x}{4} og -\frac{3x}{4} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y+\frac{27}{2}y=\frac{19+69}{16}$$

Leggðu 3y saman við \frac{27y}{2}.

$$\frac{33}{2}y=\frac{19+69}{16}$$

Leggðu \frac{19}{16} saman við \frac{69}{16} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$\frac{33}{2}y=\frac{11}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{33}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{1}{3}$$

Skiptu \frac{1}{3} út fyrir y í \frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\frac{1}{2}x-9\times \frac{1}{3}=-\frac{23}{8}$$

Margfaldaðu -9 sinnum \frac{1}{3}.

$$\frac{1}{2}x-3=-\frac{23}{8}$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{1}{2}x=\frac{1}{8}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}$$