Leysa {l}{25x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{56}{17} = -3\frac{5}{17} \approx -3.294117647$$

$$y = \frac{1553}{17} = 91\frac{6}{17} \approx 91.352941176$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$25x+y=9$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$25x=-y+9$$

Deildu báðum hliðum með 25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-y+9\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{25} sinnum -y+9.

$$x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}$$

Settu \frac{-y+9}{25} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}\right)+0.2y=13$$

Margfaldaðu 1.6 sinnum \frac{-y+9}{25}.

$$-\frac{8}{125}y+\frac{72}{125}+0.2y=13$$

Leggðu -\frac{8y}{125} saman við \frac{y}{5}.

$$\frac{17}{125}y+\frac{72}{125}=13$$

Dragðu \frac{72}{125} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{17}{125}y=\frac{1553}{125}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{17}{125}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{1553}{17}$$

Skiptu \frac{1553}{17} út fyrir y í x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{25}\times \frac{1553}{17}+\frac{9}{25}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{25} sinnum \frac{1553}{17} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{1553}{425}+\frac{9}{25}$$

Leggðu \frac{9}{25} saman við -\frac{1553}{425} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{56}{17}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{25\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{25\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{25\times 0.2-1.6}&\frac{25}{25\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\-\frac{8}{17}&\frac{125}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 9-\frac{5}{17}\times 13\\-\frac{8}{17}\times 9+\frac{125}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{56}{17}\\\frac{1553}{17}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Til að gera 25x og \frac{8x}{5} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1.6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 25.

$$1.6\times 25x+1.6y=1.6\times 9,25\times 1.6x+25\times 0.2y=25\times 13$$

Einfaldaðu.

$$40x+1.6y=14.4,40x+5y=325$$

Dragðu 40x+5y=325 frá 40x+1.6y=14.4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$40x-40x+1.6y-5y=14.4-325$$

Leggðu 40x saman við -40x. Liðirnir 40x og -40x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$1.6y-5y=14.4-325$$

Leggðu \frac{8y}{5} saman við -5y.

$$-3.4y=14.4-325$$

Leggðu 14.4 saman við -325.

$$-3.4y=-310.6$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -3.4. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{1553}{17}$$

Skiptu \frac{1553}{17} út fyrir y í 1.6x+0.2y=13. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$1.6x+0.2\times \frac{1553}{17}=13$$

Margfaldaðu 0.2 sinnum \frac{1553}{17} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$1.6x+\frac{1553}{85}=13$$

Dragðu \frac{1553}{85} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$1.6x=-\frac{448}{85}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 1.6. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-\frac{56}{17}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$