Leysa {l}{25c+22T=152000}{11c+12T=75000}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 c + 22 T = 152000 } \\ { 11 c + 12 T = 75000 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir c, T

$$c=3000$$

$$T=3500$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Veldu eina jöfnuna og leystu c með því að einangra c vinstra megin við samasemmerkið.

$$25c+22T=152000$$

Dragðu 22T frá báðum hliðum jöfnunar.

$$25c=-22T+152000$$

Deildu báðum hliðum með 25.

$$c=\frac{1}{25}\left(-22T+152000\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{25} sinnum -22T+152000.

$$c=-\frac{22}{25}T+6080$$

Settu -\frac{22T}{25}+6080 inn fyrir c í hinni jöfnunni, 11c+12T=75000.

$$11\left(-\frac{22}{25}T+6080\right)+12T=75000$$

Margfaldaðu 11 sinnum -\frac{22T}{25}+6080.

$$-\frac{242}{25}T+66880+12T=75000$$

Leggðu -\frac{242T}{25} saman við 12T.

$$\frac{58}{25}T+66880=75000$$

Dragðu 66880 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{58}{25}T=8120$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{58}{25}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$T=3500$$

Skiptu 3500 út fyrir T í c=-\frac{22}{25}T+6080. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst c strax.

$$c=-\frac{22}{25}\times 3500+6080$$

Margfaldaðu -\frac{22}{25} sinnum 3500.

$$c=-3080+6080$$

Leggðu 6080 saman við -3080.

$$c=3000$$

Leyst var úr kerfinu.

$$c=3000,T=3500$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{25\times 12-22\times 11}&-\frac{22}{25\times 12-22\times 11}\\-\frac{11}{25\times 12-22\times 11}&\frac{25}{25\times 12-22\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}&-\frac{11}{29}\\-\frac{11}{58}&\frac{25}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}\times 152000-\frac{11}{29}\times 75000\\-\frac{11}{58}\times 152000+\frac{25}{58}\times 75000\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3000\\3500\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna c og T.

$$c=3000,T=3500$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Til að gera 25c og 11c jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 11 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 25.

$$11\times 25c+11\times 22T=11\times 152000,25\times 11c+25\times 12T=25\times 75000$$

Einfaldaðu.

$$275c+242T=1672000,275c+300T=1875000$$

Dragðu 275c+300T=1875000 frá 275c+242T=1672000 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$275c-275c+242T-300T=1672000-1875000$$

Leggðu 275c saman við -275c. Liðirnir 275c og -275c núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$242T-300T=1672000-1875000$$

Leggðu 242T saman við -300T.

$$-58T=1672000-1875000$$

Leggðu 1672000 saman við -1875000.

$$-58T=-203000$$

Deildu báðum hliðum með -58.

$$T=3500$$

Skiptu 3500 út fyrir T í 11c+12T=75000. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst c strax.

$$11c+12\times 3500=75000$$

Margfaldaðu 12 sinnum 3500.

$$11c+42000=75000$$

Dragðu 42000 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$11c=33000$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$c=3000$$

Leyst var úr kerfinu.

$$c=3000,T=3500$$