Leysa {l}{22x+y=50}{27x-y=96}

$$\left. \begin{array} { l } { 22 x + y = 50 } \\ { 27 x - y = 96 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{146}{49} = 2\frac{48}{49} \approx 2.979591837$$

$$y = -\frac{762}{49} = -15\frac{27}{49} \approx -15.551020408$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$22x+y=50$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$22x=-y+50$$

Deildu báðum hliðum með 22.

$$x=\frac{1}{22}\left(-y+50\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{22} sinnum -y+50.

$$x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}$$

Settu -\frac{y}{22}+\frac{25}{11} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 27x-y=96.

$$27\left(-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}\right)-y=96$$

Margfaldaðu 27 sinnum -\frac{y}{22}+\frac{25}{11}.

$$-\frac{27}{22}y+\frac{675}{11}-y=96$$

Leggðu -\frac{27y}{22} saman við -y.

$$-\frac{49}{22}y+\frac{675}{11}=96$$

Dragðu \frac{675}{11} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{49}{22}y=\frac{381}{11}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{49}{22}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{762}{49}$$

Skiptu -\frac{762}{49} út fyrir y í x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{22}\left(-\frac{762}{49}\right)+\frac{25}{11}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{22} sinnum -\frac{762}{49} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{381}{539}+\frac{25}{11}$$

Leggðu \frac{25}{11} saman við \frac{381}{539} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{146}{49}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}&-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}\\-\frac{27}{22\left(-1\right)-27}&\frac{22}{22\left(-1\right)-27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}&\frac{1}{49}\\\frac{27}{49}&-\frac{22}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}\times 50+\frac{1}{49}\times 96\\\frac{27}{49}\times 50-\frac{22}{49}\times 96\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{146}{49}\\-\frac{762}{49}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Til að gera 22x og 27x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 27 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 22.

$$27\times 22x+27y=27\times 50,22\times 27x+22\left(-1\right)y=22\times 96$$

Einfaldaðu.

$$594x+27y=1350,594x-22y=2112$$

Dragðu 594x-22y=2112 frá 594x+27y=1350 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$594x-594x+27y+22y=1350-2112$$

Leggðu 594x saman við -594x. Liðirnir 594x og -594x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$27y+22y=1350-2112$$

Leggðu 27y saman við 22y.

$$49y=1350-2112$$

Leggðu 1350 saman við -2112.

$$49y=-762$$

Deildu báðum hliðum með 49.

$$y=-\frac{762}{49}$$

Skiptu -\frac{762}{49} út fyrir y í 27x-y=96. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$27x-\left(-\frac{762}{49}\right)=96$$

Dragðu \frac{762}{49} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$27x=\frac{3942}{49}$$

Deildu báðum hliðum með 27.

$$x=\frac{146}{49}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$