Leysa {l}{2.1x-0.8y=-9}{0.7x+0.9y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2.1 x - 0.8 y = - 9 } \\ { 0.7 x + 0.9 y = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2.1x-0.8y=-9,0.7x+0.9y=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2.1x-0.8y=-9$$

Leggðu \frac{4y}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2.1x=0.8y-9$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 2.1. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{10}{21}\left(0.8y-9\right)$$

Margfaldaðu \frac{10}{21} sinnum \frac{4y}{5}-9.

$$x=\frac{8}{21}y-\frac{30}{7}$$

Settu \frac{8y}{21}-\frac{30}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 0.7x+0.9y=4.

$$0.7\left(\frac{8}{21}y-\frac{30}{7}\right)+0.9y=4$$

Margfaldaðu 0.7 sinnum \frac{8y}{21}-\frac{30}{7}.

$$\frac{4}{15}y-3+0.9y=4$$

Leggðu \frac{4y}{15} saman við \frac{9y}{10}.

$$\frac{7}{6}y-3=4$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{7}{6}y=7$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{7}{6}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í x=\frac{8}{21}y-\frac{30}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{8}{21}\times 6-\frac{30}{7}$$

Margfaldaðu \frac{8}{21} sinnum 6.

$$x=\frac{16-30}{7}$$

Leggðu -\frac{30}{7} saman við \frac{16}{7} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2.1x-0.8y=-9,0.7x+0.9y=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.9}{2.1\times 0.9-\left(-0.8\times 0.7\right)}&-\frac{-0.8}{2.1\times 0.9-\left(-0.8\times 0.7\right)}\\-\frac{0.7}{2.1\times 0.9-\left(-0.8\times 0.7\right)}&\frac{2.1}{2.1\times 0.9-\left(-0.8\times 0.7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{49}&\frac{16}{49}\\-\frac{2}{7}&\frac{6}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{49}\left(-9\right)+\frac{16}{49}\times 4\\-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{6}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2.1x-0.8y=-9,0.7x+0.9y=4$$

Til að gera \frac{21x}{10} og \frac{7x}{10} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 0.7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.1.

$$0.7\times 2.1x+0.7\left(-0.8\right)y=0.7\left(-9\right),2.1\times 0.7x+2.1\times 0.9y=2.1\times 4$$

Einfaldaðu.

$$1.47x-0.56y=-6.3,1.47x+1.89y=8.4$$

Dragðu 1.47x+1.89y=8.4 frá 1.47x-0.56y=-6.3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$1.47x-1.47x-0.56y-1.89y=-6.3-8.4$$

Leggðu \frac{147x}{100} saman við -\frac{147x}{100}. Liðirnir \frac{147x}{100} og -\frac{147x}{100} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-0.56y-1.89y=-6.3-8.4$$

Leggðu -\frac{14y}{25} saman við -\frac{189y}{100}.

$$-2.45y=-6.3-8.4$$

Leggðu -6.3 saman við -8.4 með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$-2.45y=-14.7$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -2.45. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í 0.7x+0.9y=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$0.7x+0.9\times 6=4$$

Margfaldaðu 0.9 sinnum 6.

$$0.7x+5.4=4$$

Dragðu 5.4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.7x=-1.4$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.7. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=6$$